Вычисления, уравнения и формулы одинаково понятны людям по всему миру. Тем не менее постижение этого «универсального языка» даже в школе может быть непростой задачей. В книге «Математика для тех, кто боится математики: Еще одна книга с дурацкими рисунками» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский язык Марией Елифёровой, учитель Бен Орлин объясняет устройство математики по аналогии с языками: числа — это существительные, вычисления — глаголы, а алгебра — грамматика. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, в котором уравнения сравниваются с детективными сюжетами.
Решения
Я обожаю детективы, но совершенно не умею предугадывать их развязки. Даже если смонтировать фильм так, что с самого начала все указывает на убийцу, я все равно буду ошарашен решением в финале. «Ага, — скажу я.— Все сошлось: пропавшая драгоценность, поддельная подпись, мигающая стрелка ОН УБИЙЦА. Какая хитроумная головоломка!»
Возможно, мне не стоит отвлекаться от математических детективов. Хотя они кое-чем отличаются, основа там та же самая. Мы начинаем с описания (зачастую неизвестного числа). Дальше, «решить» это описание — означает разобраться, что именно описано.
Например:
«Вот число, известное исключительно как x, — сообщает нам это уравнение, — и его квадрат на 10 больше, чем оно же, умноженное на три». Это не вопрос и не указание к действию, а простая констатация факта. Кто же этот таинственный x? Мы становимся своего рода детективами и ищем подозреваемого, подходящего под это описание, — в математических категориях, ищем такое число, которое удовлетворяет этому уравнению. Единственная наша улика — само уравнение.
Один из подходов в подобном случае — угадывать методом случайного перебора. Не рекомендую этот метод при криминальных расследованиях, но в расследованиях математических перебор часто работает, потому что наши догадки нетрудно проверить.
Например, подходит ли под описание выше число 1? Его квадрат равен 1. Умноженное на три, оно равно 3. Теперь посмотрим, его квадрат — на 10 больше, чем оно же утроенное? Увы, и близко не подходит. Вычеркиваем 1 из списка подозреваемых. Ладно, как насчет 2? Снова нет: его квадрат (4) меньше, чем оно же утроенное (6). Как насчет 3? И тут не то: его квадрат и оно же утроенное равны (то и другое равно 9).
Продолжайте в том же духе, и вы набредете на решение — а именно: 5. Его квадрат (25) точно на 10 больше, чем оно же утроенное (15). Тайна разгадана.
Или нет?
Математика отличается от книги Агаты Кристи тем, что у математических детективов не обязательно только одно решение. Описанию может соответствовать бесконечное множество решений, или ноль решений, или любое число решений в этом диапазоне: например, 17 или 5836.
Очень часто математика, по сути, представляет собой анализ различных типов детективных сюжетов. Вы разбираетесь, сколько решений ожидается. Учитесь внимательно и с толком подходить к уликам. Усваиваете методы, применимые в каждом случае. Вы становитесь своего рода числовым Шерлоком Холмсом .
В приведенном выше примере мы можем опереться на прием, которому нас обучили в полицейской академии (не вдавайтесь в подробности), и преобразовать наши улики в более полезную форму :
(x – 5)(x + 2) = 0.
Теперь наш детективный рассказ гласит: «Два числа, перемноженные между собой, дают ноль». Это алгебраический эквивалент дымящегося ружья. Черт побери, да это же фактически чистосердечное признание. Когда произведение равно нулю? Только когда один из множителей — ноль .
Если нулю равно первое число (x – 5), то x равен 5. Это решение мы уже обнаружили.
Между тем, если нулю равно второе число (x + 2), то x равен –2. Это свежее решение — убийца, которого мы прежде проглядели. Не соучастник; скорее, другой правонарушитель, который, так уж вышло, совершил идентичное преступление.
Вот теперь тайна разгадана.
Не все детективы настолько увлекательны. В некоторых случаях можно наткнуться на дешевое или неинтересное решение — как в романе, где все очевидно со второй страницы. Такие решения известны как тривиальные. Например, x2 + 2x = x3 — достаточно заманчивый детектив: «Куб числа равен его квадрату плюс это же число, умноженное на два». Однако, прежде чем вы придете к какому-либо интересному решению, вы натолкнетесь на скучное x = 0. Ноль в кубе, ноль в квадрате и ноль, умноженный на два, равны нулю, поэтому уравнение сводится к тому, что 0 + 0 = 0. Верно, но неинтересно.
В этом смысле тривиальное решение логически удовлетворительно, но неудовлетворительно эмоционально. Оно удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет наше любопытство.
И все-таки тривиальное решение это настоящее решение. Куда опаснее посторонние решения: самозванцы или фальшивки, возникающие как побочный продукт при наших поисках реальных решений. Например, давайте решим уравнение √x + 2 + x = 0. Если подходить к этой задаче обычным образом (опять же, не переживайте насчет деталей), вы получите два решения: 2 и –1.
Однако только –1 представляет собой настоящее решение. Подставьте в исходное уравнение 2, и у вас получится абсурдное утверждение, что 4 = 0. Это постороннее решение 2 — вообще не решение, а отходы производства, от которых нам необходимо избавиться, используя исходное уравнение в качестве фильтра. Уточним: мы не совершили ошибки. Просто процесс поиска истинных решений (таких, как –1) иногда дает посторонние (такие, как 2).
У традиционных детективов и детективов математических много общего. Мы начинаем с описания (преступления / вычисления). Мы ищем виновника (преступника / число). Мы рассматриваем улики (отпечатки пальцев /уравнение), исключая подозреваемых с убедительным алиби («Я был во Франции» / «Я не удовлетворяю условиям этого уравнения»). Мы задействуем наши дедуктивные способности (или смущаем доктора Ватсона, называя его вопросы «элементарными»). А главное, мы приходим к решениям, в каждом случае идеально подходящим, как ключ к замку.
Но погодите. Тут есть нюанс. Как же без него?
В математике числа редко действуют поодиночке. Мы изучаем сети взаимосвязанных чисел. Любая формула — например, классическое PV = νRT в химии — демонстрирует, как именно связаны друг с другом несколько переменных (в данном случае давление P, объем V, температура T и количество молекул газа ν).
Поэтому вместо одного уравнения, описывающего одного виновного, мы можем столкнуться с целой системой уравнений, описывающих целую преступную группу, как в «Одиннадцати друзьях Оушена».
Например:
Здесь мы ищем не одно число, а команду из двух. Соответственно, у нас две улики. Во-первых, их сумма равна 10, вовторых, их разность равна шести.
Как выясняется, сумму в 10 дает бесконечное множество пар чисел, от 6 + 4 до 13,7 + –3,7. Аналогично, бесконечное множество пар чисел дает разность в 6, от 9 – 3 до 1006 – 1000. Но красота разгадки состоит в том, что только одна пара присутствует в обоих списках.
Это и есть наши преступники.
Как сыщику, только что раскрывшему дело, мне есть что порассказать о подобных загадках со множеством неизвестных. Они — идеальная кульминация алгебраического языка, именно тот жанр литературы, для которого была создана эта грамматика. Переменные позволяют нам рассуждать о неизвестных числах; уравнения позволяют нам описывать отношения между ними; а различные хитроумные упрощения позволяют нам определять неизвестные, сколько бы их ни было и какими бы они ни были. Тут можно даже задействовать графики и посмотреть, как детектив превращается из текста в произведение визуального искусства с его поразительной геометрией пересекающихся линий и плоскостей…
Но эти детали я оставляю авторам более толстых книг.
Когда мы начали это путешествие, я заявил, что математические идеи подобны дереву, а математический язык — дому, построенному вокруг него. Я обещал помочь вам попасть в этот дом; если вы дочитали до этой страницы, я полагаю, что мое обещание выполнено. Но наша работа еще не окончена. Нам нужно отыскать ответы на более общие вопросы, начиная с неизбежного: что делать, когда математический язык путает нас и сбивает с толку? Как относиться к нашим неизбежным ошибкам?
Подробнее читайте:
Орлин, Б. Математика для тех, кто боится математики: Еще одна книга с дурацкими рисунками / Бен Орлин ; Пер. с англ. [Марии Елифёровой] — М. : Альпина нон-фикшн, 2025. — 296 с.
